gauge e simboli ellittici

(nota: chiaramente la filosofia di questo blog, che era quella di evitare la matematica, è stata da molto superata)

[questa è una bozza. sto cercando di ricordare un seminario che ho seguito oggi pomeriggio, e alcune idee che mi erano venute a riguardo. quindi potrei fare errori anche ragguardevoli]

Si può definire il simbolo principale di un operatore differenziale ellittico su un fibrato. Il fibrato deve avere come base il cotangente di una varietà compatta. Che l'operatore sia ellittico si traduce nel fatto che il simbolo principale sia invertibile (e mandi fibre in fibre) fuori dalla sezione zero. Chiaramente allora il simbolo principale sarà (localmente) una somma di derivazioni (dello stesso ordine), a coefficienti nel gruppo degli automorfismi della fibra. Si può vedere il fibrato coe un fibrato associato a tale gruppo, e allora gli automorfismi (che variano in modo regolare da punto a punto) danno un cambio di gauge. Ecco quindi che in un certo senso:

1) essendo le derivazioni di ordine 1 identificabili con le 1-forme differenziali, le connessioni del fibrato sono operatori differenziali. Il fatto di essere "orizzontali" si potrebbe quindi generalizzare agli operatori, richiedendo magari che solo le derivazioni orizzontali possano partecipare alla somma..

2) si possono definire operatori differenziali ellittici (o per lo meno i loro simboli principali) relativi a qualsiasi algebra di Lie (il cui gruppo andrebbe a sostituire il nostro gruppo lineare), che quindi generalizzano quelli usuali allo stesso modo in cui le connessioni su fibrati generali generalizzano le forme differenziali.  Qui diventa importante l'ellitticità.

3) tutta l'analogia si ha lontano dalla sezione sopra lo zero (nel cotangente che fa da base al fibrato). Quest'ultima viene azzerata infatti dal simbolo principale. Il teorema dell'indice di Atyiah-Singer descrive un collegamento fra due modi di descrivere tale degenerazione dei fibrati. Probabilmente anche questo teorema si generalizza al caso di fibrati con gruppo generale. [imparare la K-teoria, e vedere la dimostrazione del teorema dell'indice è il prossimo passo da fare]

4) [versioni equivarianti?]