Dal Wiki degli studenti di Matematica
Una volta, circa un secolo fa, è venuta fuori questa congettura, la pongo sotto forma di domanda:
Sarà vero che le varietà, se compatte, semplicemente connesse, senza bordo, sono sfere?
La domanda è dal punto di vista dei topologi, cioè si considerano "uguali" due spazi omeomorfi. Per la dimensione 2 la cosa è piuttosto chiara, visto che le varietà sono classificate tutte quante, in base al genere (la cosa risale proprio a Poincarè). Per le dimensioni grandi, si usano fatti topologici, e la risposta è sempre sì, con un procedimento simile per tutte le dimensioni.. ma non so come si fa.
Perciò la gente dopo un po' ha iniziato a concentrarsi sul caso delle varietà 3-dimensionali.
A questo punto (o anche prima, appena letta la domanda) uno pensa di fare un controesempio, ma non ci si riesce.. o si costruisce una cosa col bordo (la "palla chiusa" di R^3), o non compatta (la "palla aperta", o S^2 x R), insomma quasi quasi uno inizia a pensare che la risposta sia "sì" anche in dimensione 3. Poincarè anche lui lo pensava, ma non voleva approfondire la cosa, essendo secondo lui troppo profonda come domanda. Dopo un po' è apparso Gregori Perelman, che ha pubblicato due preprint: li potete consultare in rete, accessibili gratuitamente.
http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159 http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109
Dopo un po' qualcuno si dev'essere convinto che fossero giusti, infatti hanno proposto a Perelman un premio di un milione di dollari e la medaglia Fields, ma lui ha rifiutato..beh questa però è un'altra storia.
Il lavoro di Perelman
In realtà Perelman nel suo secondo articolo ha dimostrato (almeno reso chiaro che seguendo la sua strategia si dimostra) la congettura di Thurston, che più o meno classifica (il "più o meno" viene dal fatto che "classificare" è un concetto un po' vago) tutte le varietà compatte di dimensione 3 (nel senso che dà delle strutture canoniche da metterci sopra). L'enunciato è spiegato abbastanza chiaramente qui:
http://mathworld.wolfram.com/ThurstonsGeometrizationConjecture.html
Ora passiamo alla tecnica di Perelman. Lui, copiando un po' Hamilton, ha pensato bene di usare il fatto che su tutte le varietà c'è una struttura metrica (fatto classico, non è qui la parte brillante della dim.)... poi se si fa evolvere questa metrica in modo inversamente proporzionale alla curvatura, si ottiene che le parti a curvatura positiva diventano meno curve, e le parti a curvatura negativa anche loro tendono a diventare meno curve (la curvatura si avvicina a zero). Quindi uno penserebbe che al limite si ottiene una cosa a curvatura costante... tipo la sfera!
Fin qui tutto bene, più che altro perché l'idea è così vaga che non si riescono nemmeno a trovare le difficoltà. Il primo articolo di Perelman studia l'equazione che sembra la più naturale, 
, cioè la metrica che varia nel "tempo" proporzionalmente al tensore di Ricci, e (primo fatto chiave) lo vede come flusso gradiente di un funzionale. Scrive cioè un funzionale (sull'insieme delle metriche, sulla mia varietà), tale che, se mi dirigo sempre dalla parte opposta al suo gradiente, con velocità data dal gradiente, allora sto dseguando il flusso di Ricci.
Nascono così delle orbite periodiche, cioè metriche che evolvono in modo periodico: le hanno chiamate Solitoni. Poi usando queste soluzioni come modello, si inizia a capire meglio l'equazione, che un po' somiglia a una dissipazione della curvatura, come se (la curvatura) fosse del calore, o un gas..
E si iniziano a capire i fenomeni che succedono quando la funzione (la metrica della varietà) diventa infinito: le Singolarità. Può quindi darsi che in certi punti della varietà ci siano pezzetti tali che se li lascio evolvere, allora loro diventano "lunghissimi" (la metrica scoppia). Perelman fa vedere che questi punti sono ben discosti l'uno dall'altro, e ce ne sono pochi (non si addensano in spazio e tempo, se non in modi che si sanno trattare).
L'altro fatto chiaro a tutti, è che normalmente queste singolarità avvengono, e si costruiscono anche facilmente! (vedere il libro di Peter Topping "Lecture notes on the Ricci Flow", sul suo sito, con tanto di disegni! fra l'altro é un libro fighissimo, che contiene tutto quello che uno vorrebbe sapere per iniziare.. http://www.warwick.ac.uk/~maseq/topping_RF_mar06.pdf ). Dunque, se voglio dimostrare che tutte le varietà evolvono nella sfera, non posso certo iniziare col dire "supponiamo la mia varietà sia del tipo buono".. il fatto è che le varietà evolvono facendosi crescere colli di bottiglia infiniti, o sfere che si schiacciano diventando sempre più piccole.. quindi all'equilibrio (dopo che il tutto evolve per tempo infinito) non c'è una sola cosa canonica a cui si arriva.
Ora spunta una nuova idea, che sta nel primo, ma soprattutto nel secondo articolo di Perelman: tagliare la varietà vicino a dove si sta per formare la singolarità, far evolvere la parte "buona", fino a che si capisce per bene la sua topologia (e nvece congelando il tempo nei pezzettini "problematici", per evitare singolarità), e poi riincollare. C'è quindi una discussione del modo in cui la nuova varietà (con le curvature fatte per benino, tranne vicino a qualche punto) viene fuori alla fine, che non conosco però troppo.
Altre idee interessanti che vengono fuori, si hanno guardando i solitoni, cioè le soluzioni dell'equazione del flusso di ricci tali che la metrica a tutti i tempi mi dia una varietà diffeomorfa a quella iniziale: in pratica la metrica non fa niente di cattivo alle topologie. Un modo per ottenere delle metriche di questo tipo su Rn (dove l'equazione del flusso di Ricci diventa quella del calore) è prendere la tipica gaussiana, che si appiattisce sempre di più. Nel caso delle varietà, si possono anche trovare metriche che "contengono come ingredienti" dei gradienti funzioni, e grosso modo corrispondono a guardare una soluzione "canonica" mentre ci si sposta lungo questo gradiente. Ora, in modo del tutto sorprendente, Perelman interpreta le funzioni sulla varietà come le "particelle di un gas", cioè nell'ambito della meccanica statistica: in tal modo il ruolo della "temperatura" verrà giocato dalla "t", il parametro lungo il quale la varietà evolve, e, scrivendo quello che i fisici chiamano "distribuzione di Maxwell-Boltzman", si ha l'analogo del concetto di entropia (cioè di una quantità che decresce lungo il flusso), che in questo caso viene ad essere l'idea chiave per la creazione del funzionale "decisivo" di Perelman.
Un'altra idea, che viene fuori dall'uso della meccanica statistica, è quella di immergere il nostro sistema statistico in un "termostato" cioè considerarlo all'interno di un sistema più grande, la cui temperatura ed entropia non variano. Tutto il flusso di calore nel nostro sistema iniziale si traduce qui in scambio di calore con il resto del termostato (l'ambiente). Siccome nell'analogia di Perelman "temperatura"viene tradotto da "tempo lungo il quale la metrica evolve", "termostato" verrà tradotto da "varietà più grande", in particolare caratterizzata dal contenere "il grafico" dell'evoluzione spaziotemporale precedente. Cioè il tempo è un parametro nella varietà più grande (che quindi avrà anche dimensione più grande). Inoltre, come un "termostato" è per definizione "all'equilibrio con l'esterno", così la varietà ausiliaria di Perelman è a curvatura di Ricci nulla. Dal considerare le implicazioni di questo fatto, nasce una particolare "distanza spaziotemporale" per la nostra "varietà spaziotemporale" (ottenuta considerando come coordinata anche il tempo), simile alla distanza data dalla metrica di Minkowski in Relatività, tranne per il fatto di dipendere in modo nonlineare (dipendente dalla curvatura spaziale) dalla componente temporale. Questo strumento tecnico è molto utile per descrivere il comportamento del flusso di Ricci all'avvicinarsi delle singolarità, e per descrivere le condizioni che garantiscono che le singolarità siano "poche, e ben trattabili" (con riscalamenti parabolici).
Per il futuro
C'è anche la possibilità che ci sia un legame piuttosto profondo fra Relatività Generale (i lavori di S. Hawking, ovvio*!) e Flusso di Ricci, ma sembra non esserci nessuno abbastanza addentro in entrambe le cose. Lo stesso anche per l'ovvio* legame con la Teoria delle Stringhe, in cui l'entropia vista da Perelman nel senso della Meccanica Statistica potrebbe, dicono, essere vista come l'energia di una certa particella (..col segno meno: e quindi di nuovo sarebbe ovvio* il fatto che sia una quantità crescente), e usando questo legame, si potrebbero reinterpretare tutti i fatti di una delle teorie in funzione dell'altra.
Note
* non so per chi, ma ovvio!
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